Cálculo Ejemplos

$5 \log ({(2)}^{x + 10})$

Paso 1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \log (2^{x + 10})$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\log (2^{x + 10})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\log (2^{x + 10})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log (x)$ y $g (x) = 2^{x + 10}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2^{x + 10}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [2^{x + 10}])$

Paso 2.2

La derivada de $\log (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$5 (\frac{1}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [2^{x + 10}])$

Paso 3

Combina $\frac{1}{2^{x + 10} \ln (10)}$ y $5$ .

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [2^{x + 10}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 2^{x}$ y $g (x) = x + 10$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + 10$ .

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [2^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x + 10])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (2^{u_{2}} \ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 10$ .

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (2^{x + 10} \ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Combina $2^{x + 10}$ y $\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)}$ .

$\frac{2^{x + 10} \cdot 5}{2^{x + 10} \ln (10)} (\ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

Paso 5.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.1

Combina $\ln (2)$ y $\frac{2^{x + 10} \cdot 5}{2^{x + 10} \ln (10)}$ .

$\frac{\ln (2) (2^{x + 10} \cdot 5)}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Paso 5.2.2

Reordena.

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Paso 5.2.2.1

Mueve $5$ a la izquierda de $2^{x + 10}$ .

$\frac{\ln (2) (5 \cdot 2^{x + 10})}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Paso 5.2.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $\ln (2)$ .

$\frac{5 \cdot \ln (2) \cdot 2^{x + 10}}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $2^{x + 10}$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \ln (2) \cdot 2^{x + 10}}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Paso 5.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Paso 5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (1 + \frac{d}{d x} [10])$

Paso 5.5

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (1 + 0)$

Paso 5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} \cdot 1$

Paso 5.6.2

Multiplica $\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)}$ por $1$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Simplifica $5 \ln (2)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln (2^{5})}{\ln (10)}$

Paso 6.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{\ln (32)}{\ln (10)}$