Cálculo Ejemplos

$5 {\sin (x)}^{x}$

Paso 1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 {\sin (x)}^{x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{x}]$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 2.1

Reescribe ${\sin (x)}^{x}$ como $e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}]$

Paso 2.2

Expande $\ln ({\sin (x)}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$5 \frac{d}{d x} [e^{x \ln (\sin (x))}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x \ln (\sin (x))$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x \ln (\sin (x))$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x \ln (\sin (x))$ .

$5 (e^{x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 8.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \cdot 1)$

Paso 8.2

Multiplica $\ln (\sin (x))$ por $1$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x))) + 5 e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Paso 9.2

Elimina los paréntesis.

$5 e^{x \ln (\sin (x))} x \csc (x) \cos (x) + 5 e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Paso 9.3

Reordena los términos.

$5 e^{x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + 5 e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$