Cálculo Ejemplos

$4 x \sqrt{64 - x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{64 - x^{2}}$ como ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 64 - x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $64 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $64 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x (\frac{{(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.3

Mueve ${(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x (\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $64 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 10

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 14

Combina fracciones.

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Paso 14.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 14.2

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{- 2 x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 14.3

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$4 (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 18

Suma $1$ y $1$ .

$4 (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 19

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 20

Cancela los factores comunes.

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Paso 20.1

Factoriza $2$ de $2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 20.2

Cancela el factor común.

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 20.3

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{- x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 22

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Paso 23

Multiplica ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 24

Para escribir ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26

Multiplica ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 26.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3

Suma $1$ y $1$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.4

Divide $2$ por $2$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{1}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27

Simplifica ${(64 - x^{2})}^{1}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 64 - x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$4 \frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 29

Combina $4$ y $\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (- 2 x^{2} + 64)}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 30

Simplifica.

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Paso 30.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 \cdot 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 30.2

Simplifica cada término.

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Paso 30.2.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 4 \cdot 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 30.2.2

Multiplica $4$ por $64$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 256}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 30.3

Reordena los términos.

$\frac{- 8 x^{2} + 256}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 30.4

Factoriza $8$ de $- 8 x^{2} + 256$ .

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Paso 30.4.1

Factoriza $8$ de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 256}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 30.4.2

Factoriza $8$ de $256$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 (32)}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 30.4.3

Factoriza $8$ de $8 (- x^{2}) + 8 (32)$ .

$\frac{8 (- x^{2} + 32)}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 30.5

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) + 32)}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 30.6

Reescribe $32$ como $- 1 (- 32)$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) - 1 (- 32))}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 30.7

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{8 (- (x^{2} - 32))}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 30.8

Reescribe $- (x^{2} - 32)$ como $- 1 (x^{2} - 32)$ .

$\frac{8 (- 1 (x^{2} - 32))}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 30.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8 (x^{2} - 32)}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$