Cálculo Ejemplos

$4 \ln (\tanh (\frac{x}{2}))$

Paso 1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \ln (\tanh (\frac{x}{2}))$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\ln (\tanh (\frac{x}{2}))]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (\tanh (\frac{x}{2}))]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \tanh (\frac{x}{2})$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tanh (\frac{x}{2})$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tanh (\frac{x}{2})])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$4 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tanh (\frac{x}{2})])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tanh (\frac{x}{2})$ .

$4 (\frac{1}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [\tanh (\frac{x}{2})])$

Paso 3

Combina $\frac{1}{\tanh (\frac{x}{2})}$ y $4$ .

$\frac{4}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [\tanh (\frac{x}{2})]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tanh (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{4}{\tanh (\frac{x}{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\tanh (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 4.2

La derivada de $\tanh (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es ${sech}^{2} (u_{2})$ .

$\frac{4}{\tanh (\frac{x}{2})} ({sech}^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{x}{2}$ .

$\frac{4}{\tanh (\frac{x}{2})} ({sech}^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Combina ${sech}^{2} (\frac{x}{2})$ y $\frac{4}{\tanh (\frac{x}{2})}$ .

$\frac{{sech}^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 5.2

Mueve $4$ a la izquierda de ${sech}^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{4 \cdot {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 5.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{4 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})}$ .

$\frac{4 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{2 \tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $2$ de $4 {sech}^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{2 (2 {sech}^{2} (\frac{x}{2}))}{2 \tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \tanh (\frac{x}{2})$ .

$\frac{2 (2 {sech}^{2} (\frac{x}{2}))}{2 (\tanh (\frac{x}{2}))} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 {sech}^{2} (\frac{x}{2}))}{2 \tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})} \cdot 1$

Paso 5.6

Multiplica $\frac{2 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})}$ por $1$ .

$\frac{2 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})}$