Cálculo Ejemplos

$5 x^{4} (x^{3} - 4)$

Paso 1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4} (x^{3} - 4)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4} (x^{3} - 4)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4} (x^{3} - 4)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x^{3} - 4$ .

$5 (x^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4] + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$5 (x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 (x^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 (x^{4} (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.4

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$5 (x^{4} (3 x^{2}) + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{4} \cdot 3 + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 (x^{2 + 4} \cdot 3 + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4.3

Suma $2$ y $4$ .

$5 (x^{6} \cdot 3 + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 5

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{6}$ .

$5 (3 \cdot x^{6} + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (3 x^{6} + (x^{3} - 4) (4 x^{3}))$

Paso 7

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{3} - 4$ .

$5 (3 x^{6} + 4 \cdot (x^{3} - 4) x^{3})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (3 x^{6} + (4 x^{3} + 4 \cdot - 4) x^{3})$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (3 x^{6} + 4 x^{3} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3})$

Paso 8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (3 x^{6}) + 5 (4 x^{3} x^{3}) + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Paso 8.4

Combina los términos.

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Paso 8.4.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$15 x^{6} + 5 (4 x^{3} x^{3}) + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Paso 8.4.2

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$15 x^{6} + 5 (4 (x^{3} x^{3})) + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Paso 8.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$15 x^{6} + 5 (4 x^{3 + 3}) + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Paso 8.4.2.3

Suma $3$ y $3$ .

$15 x^{6} + 5 (4 x^{6}) + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Paso 8.4.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$15 x^{6} + 20 x^{6} + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Paso 8.4.4

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$15 x^{6} + 20 x^{6} + 5 (- 16 x^{3})$

Paso 8.4.5

Multiplica $- 16$ por $5$ .

$15 x^{6} + 20 x^{6} - 80 x^{3}$

Paso 8.4.6

Suma $15 x^{6}$ y $20 x^{6}$ .

$35 x^{6} - 80 x^{3}$