Cálculo Ejemplos

$5 x^{\frac{2}{3}} + 8$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{\frac{2}{3}} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.9

Combina $5$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.10

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 0$

Paso 3.2

Suma $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ y $0$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$