Cálculo Ejemplos

$2 \cos^{3} (e^{2 x})$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos^{3} (e^{2 x})$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (e^{2 x})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (e^{2 x})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (e^{2 x})$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (e^{2 x})$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (e^{2 x})$ .

$2 (3 \cos^{2} (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Paso 3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 (\cos^{2} (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = e^{2 x}$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $e^{2 x}$ .

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 4.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{2 x}$ .

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) (\sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $2 x$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 6.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $2 x$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

Paso 7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.4.1

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Paso 7.4.2

Reordena los factores de $- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$- 12 e^{2 x} \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x})$