Cálculo Ejemplos

$16 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Paso 1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$16 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$16 (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$16 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $2$ por $16$ .

$32 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 3.4

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 0)$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x)$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $32$ .

$64 (x^{2} + y^{2}) x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(64 x^{2} + 64 y^{2}) x$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$64 x^{2} x + 64 y^{2} x$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$64 (x^{1} x^{2}) + 64 y^{2} x$

Paso 4.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$64 x^{1 + 2} + 64 y^{2} x$

Paso 4.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$64 x^{3} + 64 y^{2} x$