Cálculo Ejemplos

$x e^{x} \sin (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x e^{x}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$x e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Paso 5.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x} + e^{x})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x}) + \sin (x) e^{x}$

Paso 6.2

Reordena los términos.

$e^{x} x \cos (x) + e^{x} x \sin (x) + e^{x} \sin (x)$