Cálculo Ejemplos

$\frac{x - 5}{x^{5}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 5$ y $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{5} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 2.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{5} (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 2.5.2

Multiplica $x^{5}$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{x^{5} - (x - 5) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Paso 2.7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.7.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{5} - 5 (x - 5) x^{4}}{x^{10}}$

Paso 2.7.2

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5} - 5 (x - 5) x^{4}$ .

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Paso 2.7.2.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$\frac{x^{4} x - 5 (x - 5) x^{4}}{x^{10}}$

Paso 2.7.2.2

Factoriza $x^{4}$ de $- 5 (x - 5) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} x + x^{4} (- 5 (x - 5))}{x^{10}}$

Paso 2.7.2.3

Factoriza $x^{4}$ de $x^{4} x + x^{4} (- 5 (x - 5))$ .

$\frac{x^{4} (x - 5 (x - 5))}{x^{10}}$

Paso 3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (x - 5 (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4} (x - 5 (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

Paso 3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 5 (x - 5)}{x^{6}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 5 x - 5 \cdot - 5}{x^{6}}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$\frac{x - 5 x + 25}{x^{6}}$

Paso 4.2.2

Resta $5 x$ de $x$ .

$\frac{- 4 x + 25}{x^{6}}$

Paso 4.3

Factoriza $- 1$ de $- 4 x$ .

$\frac{- (4 x) + 25}{x^{6}}$

Paso 4.4

Reescribe $25$ como $- 1 (- 25)$ .

$\frac{- (4 x) - 1 (- 25)}{x^{6}}$

Paso 4.5

Factoriza $- 1$ de $- (4 x) - 1 (- 25)$ .

$\frac{- (4 x - 25)}{x^{6}}$

Paso 4.6

Reescribe $- (4 x - 25)$ como $- 1 (4 x - 25)$ .

$\frac{- 1 (4 x - 25)}{x^{6}}$

Paso 4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 x - 25}{x^{6}}$