Cálculo Ejemplos

$\frac{x y}{4 x + 5 y}$

Paso 1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x y}{4 x + 5 y}$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x + 5 y}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x + 5 y}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 4 x + 5 y$ .

$y \frac{(4 x + 5 y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y \frac{(4 x + 5 y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $4 x + 5 y$ por $1$ .

$y \frac{4 x + 5 y - x \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 5 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$y \frac{4 x + 5 y - x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y])}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{4 x + 5 y - x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y])}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y \frac{4 x + 5 y - x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y])}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Paso 3.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$y \frac{4 x + 5 y - x (4 + \frac{d}{d x} [5 y])}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $5 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y \frac{4 x + 5 y - x (4 + 0)}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Paso 3.8

Simplifica los términos.

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Paso 3.8.1

Suma $4$ y $0$ .

$y \frac{4 x + 5 y - x \cdot 4}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Paso 3.8.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y \frac{4 x + 5 y - 4 x}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Paso 3.8.3

Resta $4 x$ de $4 x$ .

$y \frac{5 y + 0}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Paso 3.8.4

Suma $5 y$ y $0$ .

$y \frac{5 y}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Paso 3.8.5

Combina $y$ y $\frac{5 y}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$ .

$\frac{y (5 y)}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Paso 4

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 (y^{1} y)}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Paso 5

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 (y^{1} y^{1})}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 y^{1 + 1}}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Paso 7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 y^{2}}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$