Cálculo Ejemplos

$\frac{x + 8}{x + 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 8$ y $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x + 8] - (x + 8) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 3) (1 + 0) - (x + 8) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 1 - (x + 8) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.4.2

Multiplica $x + 3$ por $1$ .

$\frac{x + 3 - (x + 8) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x + 3 - (x + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x + 3 - (x + 8) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x + 3 - (x + 8) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x + 3 - (x + 8) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 3 - (x + 8)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 3 - x - 1 \cdot 8}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Combina los términos opuestos en $x + 3 - x - 1 \cdot 8$ .

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Paso 3.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 3 - 1 \cdot 8}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Suma $0$ y $3$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 8}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{3 - 8}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Resta $8$ de $3$ .

$\frac{- 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{{(x + 3)}^{2}}$