Cálculo Ejemplos

$\frac{x + 1}{2 x - 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.4.2

Multiplica $2 x - 1$ por $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.10.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2 x - 1 - (x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Combina los términos opuestos en $2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1$ .

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Paso 3.2.1.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 - 1 - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 1 - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Resta $2$ de $- 1$ .

$\frac{- 3}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}}$