Cálculo Ejemplos

$x^{4} {(x - 3)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 3) (x - 3))]$

Paso 2

Expande $(x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 3) - 3 (x - 3))]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Paso 3.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Paso 3.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)]$

Paso 3.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 6 x + 9)]$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x^{2} - 6 x + 9$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9] + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 6 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 5.3

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 5.5

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$x^{4} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 5.6

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{4} (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 5.7

Suma $2 x - 6$ y $0$ .

$x^{4} (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 5.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (4 x^{3})$

Paso 5.9

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2} - 6 x + 9$ .

$x^{4} (2 x - 6) + 4 \cdot (x^{2} - 6 x + 9) x^{3}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 6 + 4 (x^{2} - 6 x + 9) x^{3}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 6 + (4 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 \cdot 9) x^{3}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Paso 6.4

Combina los términos.

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Paso 6.4.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.1

Mueve $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Paso 6.4.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 6.4.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Paso 6.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Paso 6.4.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Paso 6.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Paso 6.4.3

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 6 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Paso 6.4.4

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.4.1

Mueve $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Paso 6.4.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Paso 6.4.4.3

Suma $3$ y $2$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Paso 6.4.5

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Paso 6.4.6

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.6.1

Mueve $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 (x^{3} x) + 4 \cdot 9 x^{3}$

Paso 6.4.6.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 6.4.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 9 x^{3}$

Paso 6.4.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 x^{3 + 1} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Paso 6.4.6.3

Suma $3$ y $1$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 x^{4} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Paso 6.4.7

Multiplica $4$ por $9$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 x^{4} + 36 x^{3}$

Paso 6.4.8

Suma $2 x^{5}$ y $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 6 x^{4} - 24 x^{4} + 36 x^{3}$

Paso 6.4.9

Resta $24 x^{4}$ de $- 6 x^{4}$ .

$6 x^{5} - 30 x^{4} + 36 x^{3}$