Cálculo Ejemplos

$x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = t x$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t x$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t x$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Paso 2.2

Como $t$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $t x$ con respecto a $x$ es $t \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Paso 2.4

Multiplica $t$ por $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ .

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Paso 3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x))]$

Paso 3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x^{1}))]$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{1 + 1})]$

Paso 3.4

Suma $1$ y $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{2})]$

Paso 3.5

Como $3 t$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 t x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t (2 x)$

Paso 3.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 6 t x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $t x$ .

$3 x^{2} + 3 (t^{2} x^{2}) t + 6 t x$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{2} + 3 (t^{1} t^{2}) x^{2} + 6 t x$

Paso 4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{2} + 3 t^{1 + 2} x^{2} + 6 t x$

Paso 4.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$3 x^{2} + 3 t^{3} x^{2} + 6 t x$