Cálculo Ejemplos

$x^{3} + y^{3} + \frac{3}{x y}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + y^{3} + \frac{3}{x y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$

Paso 1.3

Como $y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$ .

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Paso 2.1

Como $\frac{3}{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{x y}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{y} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{3}{y} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{3}{y} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{3}{y} (- x^{- 2})$

Paso 2.4

Combina $\frac{3}{y}$ y $x^{- 2}$ .

$3 x^{2} + 0 - \frac{3 x^{- 2}}{y}$

Paso 2.5

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} + 0 - \frac{3}{y x^{2}}$

Paso 3

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{y x^{2}}$