Cálculo Ejemplos

$x^{e x}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{e x}$ como $e^{\ln (x^{e x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e x})}]$

Paso 1.2

Expande $\ln (x^{e x})$ ; para ello, mueve $e x$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{e x \ln (x)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = e x \ln (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $e x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e x \ln (x)$ .

$e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Paso 3

Como $e$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $e \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$e^{e x \ln (x)} (e \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Paso 4

Multiplica $e^{e x \ln (x)}$ por $e$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $e$ .

$e e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 4.2

Multiplica $e$ por $e^{e x \ln (x)}$ .

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Paso 4.2.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$e^{1} e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{1 + e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 7.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$e^{1 + e x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 7.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x))$