Cálculo Ejemplos

$x^{2} {(6 - x)}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{3}] + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 6 - x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 - x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 - x$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \cdot 1) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.7

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} (2 x)$

Paso 3.9

Mueve $2$ a la izquierda de ${(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 \cdot {(6 - x)}^{3} x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Factoriza $x {(6 - x)}^{2}$ de $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 {(6 - x)}^{3} x$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x {(6 - x)}^{2}$ de $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2})$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 2 {(6 - x)}^{3} x$

Paso 4.1.2

Factoriza $x {(6 - x)}^{2}$ de $2 {(6 - x)}^{3} x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$

Paso 4.1.3

Factoriza $x {(6 - x)}^{2}$ de $x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 2 (6 - x))$

Paso 4.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.3

Reescribe ${(6 - x)}^{2}$ como $(6 - x) (6 - x)$ .

$x ((6 - x) (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.4

Expande $(6 - x) (6 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (6 (6 - x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.1.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.5.1.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.5.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.5.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.1.5.1

Mueve $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.5.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.5.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.5.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.5.2

Resta $6 x$ de $- 6 x$ .

$x (36 - 12 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot 36 + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.7

Simplifica.

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Paso 4.7.1

Mueve $36$ a la izquierda de $x$ .

$(36 \cdot x + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.7.3

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.7.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.7.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1} x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.7.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1 + 2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.7.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.8

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.8.1

Mueve $x$ .

$(36 x - 12 (x \cdot x) + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.8.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.9

Simplifica cada término.

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Paso 4.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 \cdot 6 + 2 (- x))$

Paso 4.9.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 + 2 (- x))$

Paso 4.9.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 - 2 x)$

Paso 4.10

Resta $2 x$ de $- 3 x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$

Paso 4.11

Expande $(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$36 x (- 5 x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12

Simplifica cada término.

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Paso 4.12.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$36 \cdot - 5 x \cdot x + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.12.2.1

Mueve $x$ .

$36 \cdot - 5 (x \cdot x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$36 \cdot - 5 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.3

Multiplica $36$ por $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.4

Multiplica $12$ por $36$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.12.6.1

Mueve $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.12.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{1 + 2} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.7

Multiplica $- 12$ por $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.8

Multiplica $12$ por $- 12$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{3} x + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.10

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.12.10.1

Mueve $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.10.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 4.12.10.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.10.3

Suma $1$ y $3$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.12.11

Mueve $12$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Paso 4.13

Resta $144 x^{2}$ de $- 180 x^{2}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Paso 4.14

Suma $60 x^{3}$ y $12 x^{3}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$