Cálculo Ejemplos

$f (x) = (x^{5} - 3 x) (\frac{1}{x^{2}})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{5} - 3 x$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{5} - 3 x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 3 x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$(x^{5} - 3 x) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 3 x]$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{5} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 3 x]$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(x^{5} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 3 x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 3 x]$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 2.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} - 3 \cdot 1)$

Paso 2.8

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} - 3)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x^{5} - 3 x) (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} - 3)$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{5} (- 2 \frac{1}{x^{3}}) - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} - 3)$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{5} (- 2 \frac{1}{x^{3}}) - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4

Combina los términos.

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Paso 3.4.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$x^{5} \frac{- 2}{x^{3}} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{5} (- \frac{2}{x^{3}}) - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.3

Combina $x^{5}$ y $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{x^{5} \cdot 2}{x^{3}} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$- \frac{2 \cdot x^{5}}{x^{3}} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.5

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x^{3}$ .

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Paso 3.4.5.1

Factoriza $x^{3}$ de $2 x^{5}$ .

$- \frac{x^{3} (2 x^{2})}{x^{3}} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$- \frac{x^{3} (2 x^{2})}{x^{3} \cdot 1} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{x^{3} (2 x^{2})}{x^{3} \cdot 1} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 x^{2}}{1} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.5.2.4

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$- (2 x^{2}) - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.7

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- 2 x^{2} - 3 x \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 x^{2} - 3 x (- \frac{2}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.9

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$- 2 x^{2} + 3 x \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.10

Combina $3$ y $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- 2 x^{2} + x \frac{3 \cdot 2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.11

Multiplica $3$ por $2$ .

$- 2 x^{2} + x \frac{6}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.12

Combina $x$ y $\frac{6}{x^{3}}$ .

$- 2 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.13

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$- 2 x^{2} + \frac{6 \cdot x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.14

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 3.4.14.1

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$- 2 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.14.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$- 2 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.14.2.2

Cancela el factor común.

$- 2 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.14.2.3

Reescribe la expresión.

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.15

Combina $5$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} x^{4} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.16

Combina $\frac{5}{x^{2}}$ y $x^{4}$ .

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{5 x^{4}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.17

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{2}$ .

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Paso 3.4.17.1

Factoriza $x^{2}$ de $5 x^{4}$ .

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.17.2.1

Multiplica por $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.17.2.2

Cancela el factor común.

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.17.2.3

Reescribe la expresión.

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{5 x^{2}}{1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.17.2.4

Divide $5 x^{2}$ por $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 5 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

Paso 3.4.18

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $- 3$ .

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 5 x^{2} + \frac{- 3}{x^{2}}$

Paso 3.4.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 5 x^{2} - \frac{3}{x^{2}}$

Paso 3.4.20

Suma $- 2 x^{2}$ y $5 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}}$

Paso 3.4.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x^{2} + \frac{6 - 3}{x^{2}}$

Paso 3.4.22

Resta $3$ de $6$ .

$3 x^{2} + \frac{3}{x^{2}}$