Cálculo Ejemplos

$f (x) = (2 x - 1) (\ln (5 x + 1) + x^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 2 x - 1$ y $g (x) = \ln (5 x + 1) + x^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (5 x + 1) + x^{2}] + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (5 x + 1) + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (5 x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [\ln (5 x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 5 x + 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x + 1$ .

$(2 x - 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x + 1$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 4.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 4.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 4.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 + 0) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 4.6

Combina fracciones.

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Paso 4.6.1

Suma $5$ y $0$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 4.6.2

Combina $\frac{1}{5 x + 1}$ y $5$ .

$(2 x - 1) (\frac{5}{5 x + 1} + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(2 x - 1) (\frac{5}{5 x + 1} + 2 x) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 5

Para escribir $2 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5 x + 1}{5 x + 1}$ .

$(2 x - 1) (\frac{5}{5 x + 1} + \frac{2 x (5 x + 1)}{5 x + 1}) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 10

Multiplica $2$ por $1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 + 0)$

Paso 12

Simplifica la expresión.

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Paso 12.1

Suma $2$ y $0$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \cdot 2$

Paso 12.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (5 x + 1) + x^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + 2 \cdot (\ln (5 x + 1) + x^{2})$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 (\ln (5 x + 1) + x^{2})$

Paso 13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Paso 13.3

Combina los términos.

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Paso 13.3.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x \cdot x + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Paso 13.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 (x^{1} x) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Paso 13.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 (x^{1} x^{1}) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Paso 13.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{1 + 1} + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Paso 13.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{2} + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Paso 13.3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{2} + 2 x}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Paso 13.4

Reordena los términos.

$2 x^{2} + (2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{2} + 2 x}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1)$