Cálculo Ejemplos

$f (t) = \frac{1}{\arctan (3 t)}$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{\arctan (3 t)}$ como ${\arctan (3 t)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{\arctan (3 t)}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 1}$ y $g (t) = \arctan (3 t)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\arctan (3 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\arctan (3 t)$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \arctan (t)$ y $g (t) = 3 t$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 t$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

Paso 3.2

La derivada de $\arctan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 t$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {(3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Factoriza $3$ de $3 t$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {(3 (t))}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 (t)$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + 3^{2} t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Paso 4.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + 9 t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Paso 4.2.2

Combina $\frac{1}{1 + 9 t^{2}}$ y ${\arctan (3 t)}^{- 2}$ .

$- \frac{{\arctan (3 t)}^{- 2}}{1 + 9 t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t]$

Paso 4.2.3

Mueve ${\arctan (3 t)}^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t]$

Paso 4.3

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.4

Combina fracciones.

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Paso 4.4.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \cdot 1$

Paso 4.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3}{1 {\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

Paso 5.2

Multiplica ${\arctan (3 t)}^{2}$ por $1$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

Paso 5.3

Factoriza ${\arctan (3 t)}^{2}$ de ${\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1

Multiplica por $1$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Factoriza ${\arctan (3 t)}^{2}$ de $9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (3 t)}^{2} (9 t^{2})}$

Paso 5.3.3

Factoriza ${\arctan (3 t)}^{2}$ de ${\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (3 t)}^{2} (9 t^{2})$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} (1 + 9 t^{2})}$