Cálculo Ejemplos

$f (t) = \frac{t^{2} + 2}{2 t - 7}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t^{2} + 2$ y $g (t) = 2 t - 7$ .

$\frac{(2 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [2 t - 7]}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{(2 t - 7) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [2 t - 7]}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(2 t - 7) (2 t + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [2 t - 7]}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(2 t - 7) (2 t + 0) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [2 t - 7]}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $2 t$ y $0$ .

$\frac{(2 t - 7) (2 t) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [2 t - 7]}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $2 t - 7$ .

$\frac{2 \cdot (2 t - 7) t - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [2 t - 7]}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t - 7$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{2 (2 t - 7) t - (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 7])}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 2.6

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 (2 t - 7) t - (t^{2} + 2) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7])}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (2 t - 7) t - (t^{2} + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7])}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 2.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 (2 t - 7) t - (t^{2} + 2) (2 + \frac{d}{d t} [- 7])}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 2.9

Como $- 7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{2 (2 t - 7) t - (t^{2} + 2) (2 + 0)}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.10.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2 (2 t - 7) t - (t^{2} + 2) \cdot 2}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (2 t - 7) t - 2 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 (2 t) + 2 \cdot - 7) t - 2 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 t) t + 2 \cdot - 7 t - 2 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 t) t + 2 \cdot - 7 t - 2 t^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1.1.1

Mueve $t$ .

$\frac{2 (2 (t \cdot t)) + 2 \cdot - 7 t - 2 t^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 3.4.1.1.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{2 (2 t^{2}) + 2 \cdot - 7 t - 2 t^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 t^{2} + 2 \cdot - 7 t - 2 t^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 3.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$\frac{4 t^{2} - 14 t - 2 t^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 3.4.1.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{4 t^{2} - 14 t - 2 t^{2} - 4}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Resta $2 t^{2}$ de $4 t^{2}$ .

$\frac{2 t^{2} - 14 t - 4}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 3.5

Factoriza $2$ de $2 t^{2} - 14 t - 4$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $2$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{2 (t^{2}) - 14 t - 4}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 3.5.2

Factoriza $2$ de $- 14 t$ .

$\frac{2 (t^{2}) + 2 (- 7 t) - 4}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 3.5.3

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 (- 7 t) + 2 \cdot - 2}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 3.5.4

Factoriza $2$ de $2 t^{2} + 2 (- 7 t)$ .

$\frac{2 (t^{2} - 7 t) + 2 \cdot - 2}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Paso 3.5.5

Factoriza $2$ de $2 (t^{2} - 7 t) + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (t^{2} - 7 t - 2)}{{(2 t - 7)}^{2}}$