Cálculo Ejemplos

$f (t) = {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ y $g (t) = 4 t^{2} - 2 t + 5$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 t^{2} - 2 t + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 t^{2} - 2 t + 5$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Paso 3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Paso 5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Paso 6

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $4 t^{2} - 2 t + 5$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5])$

Paso 8

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 t^{2}$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5])$

Paso 10

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5])$

Paso 11

Como $- 2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 2 t$ con respecto a $t$ es $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5])$

Paso 13

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2 + \frac{d}{d t} [5])$

Paso 14

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2 + 0)$

Paso 15

Simplifica la expresión.

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Paso 15.1

Suma $8 t - 2$ y $0$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2)$

Paso 15.2

Reordena los factores de $\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2)$ .

$(8 t - 2) \frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2}$