Cálculo Ejemplos

$f (t) = e^{2 t} \ln (t + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = e^{2 t}$ y $g (t) = \ln (t + 1)$ .

$e^{2 t} \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)] + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = t + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $t + 1$ .

$e^{2 t} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [t + 1]) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{2 t} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [t + 1]) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $t + 1$ .

$e^{2 t} (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1]) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{t + 1}$ y $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1] + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Paso 3.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} (1 + 0) + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} \cdot 1 + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Paso 3.5.2

Multiplica $\frac{e^{2 t}}{t + 1}$ por $1$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 t$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 t$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (e^{2 t} (2 \cdot 1))$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (e^{2 t} \cdot 2)$

Paso 5.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \ln (t + 1) (2 \cdot e^{2 t})$

Paso 6

Para escribir $\ln (t + 1) (2 e^{2 t})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{e^{2 t}}{t + 1} + \frac{\ln (t + 1) (2 e^{2 t}) (t + 1)}{t + 1}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{2 t} + \ln (t + 1) (2 e^{2 t}) (t + 1)}{t + 1}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{e^{2 t} + 2 \ln (t + 1) e^{2 t} (t + 1)}{t + 1}$

Paso 8.1.1.2

Simplifica $2 \ln (t + 1)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{e^{2 t} + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t} (t + 1)}{t + 1}$

Paso 8.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{2 t} + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t} t + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t} \cdot 1}{t + 1}$

Paso 8.1.1.4

Multiplica $\ln ({(t + 1)}^{2})$ por $1$ .

$\frac{e^{2 t} + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t} t + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t}}{t + 1}$

Paso 8.1.2

Reordena los factores en $e^{2 t} + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t} t + \ln ({(t + 1)}^{2}) e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} + t e^{2 t} \ln ({(t + 1)}^{2}) + e^{2 t} \ln ({(t + 1)}^{2})}{t + 1}$

Paso 8.2

Reordena los términos.

$\frac{e^{2 t} t \ln ({(t + 1)}^{2}) + e^{2 t} \ln ({(t + 1)}^{2}) + e^{2 t}}{t + 1}$