Cálculo Ejemplos

$f (t) = \frac{1}{2} \cdot {(3 t^{2} + t)}^{- 3}$

Paso 1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{1}{2} \cdot {(3 t^{2} + t)}^{- 3}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + t)}^{- 3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + t)}^{- 3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 3}$ y $g (t) = 3 t^{2} + t$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 t^{2} + t$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$\frac{1}{2} (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 t^{2} + t$ .

$\frac{1}{2} (- 3 {(3 t^{2} + t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2} ({(3 t^{2} + t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t])$

Paso 3.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.1

Combina ${(3 t^{2} + t)}^{- 4}$ y $\frac{- 3}{2}$ .

$\frac{{(3 t^{2} + t)}^{- 4} \cdot - 3}{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t]$

Paso 3.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.2.1

Mueve $- 3$ a la izquierda de ${(3 t^{2} + t)}^{- 4}$ .

$\frac{- 3 \cdot {(3 t^{2} + t)}^{- 4}}{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t]$

Paso 3.2.2.2

Mueve ${(3 t^{2} + t)}^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t]$

Paso 3.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t^{2} + t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.4

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t^{2}$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.6

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (6 t + \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (6 t + 1)$

Paso 3.8

Reordena los factores de $- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (6 t + 1)$ .

$- (6 t + 1) \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}}$