Cálculo Ejemplos

$f (t) = \frac{8 t}{8 + \sqrt{t}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{8 t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Como $8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{8 t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $t$ es $8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = 8 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{(8 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [8 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 \frac{(8 + t^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [8 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $8 + t^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [8 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $8 + t^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4

Como $8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $8$ con respecto a $t$ es $0$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 10

Combina $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $t$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11

Multiplica $t^{- \frac{1}{2}}$ por $t$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Multiplica $t^{- \frac{1}{2}}$ por $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{1}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + 1}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.4

Suma $- 1$ y $2$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12

Para escribir $t^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 13

Combina $t^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$8 \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 15

Mueve $2$ a la izquierda de $t^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{8 + \frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 16

Resta $t^{\frac{1}{2}}$ de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 17

Multiplica $\frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{2}{2} \cdot \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 18

Combinar.

$8 \frac{2 (8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 19

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \frac{2 \cdot 8 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 20

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.1

Cancela el factor común.

$8 \frac{2 \cdot 8 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 20.2

Reescribe la expresión.

$8 \frac{2 \cdot 8 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 21

Multiplica $2$ por $8$ .

$8 \frac{16 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 22

Combina $8$ y $\frac{16 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{8 (16 + t^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 23

Factoriza $2$ de $8 (16 + t^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (4 (16 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 24

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 24.1

Factoriza $2$ de $2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{2 (4 (16 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 24.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 (16 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 24.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (16 + t^{\frac{1}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 25

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 25.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \cdot 16 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 25.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$\frac{64 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 25.3

Reordena los términos.

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} + 64}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$

Paso 25.4

Factoriza $4$ de $4 t^{\frac{1}{2}} + 64$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 25.4.1

Factoriza $4$ de $4 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 (t^{\frac{1}{2}}) + 64}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$

Paso 25.4.2

Factoriza $4$ de $64$ .

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 16}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$

Paso 25.4.3

Factoriza $4$ de $4 t^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 16$ .

$\frac{4 (t^{\frac{1}{2}} + 16)}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$