Cálculo Ejemplos

$f (t) = - 3 t {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

Paso 1

Como $- 3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 3 t {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ con respecto a $t$ es $- 3 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{8} - 1)}^{7}]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{8} - 1)}^{7}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ .

$- 3 (t \frac{d}{d t} [{(5 t^{8} - 1)}^{7}] + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{7}$ y $g (t) = 5 t^{8} - 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 t^{8} - 1$ .

$- 3 (t (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d t} [5 t^{8} - 1]) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$- 3 (t (7 u^{6} \frac{d}{d t} [5 t^{8} - 1]) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 t^{8} - 1$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} \frac{d}{d t} [5 t^{8} - 1]) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 t^{8} - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [5 t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (\frac{d}{d t} [5 t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.2

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 t^{8}$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [t^{8}]$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (5 \frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (5 (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.4

Multiplica $8$ por $5$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (40 t^{7} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (40 t^{7} + 0)) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Suma $40 t^{7}$ y $0$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (40 t^{7})) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.6.2

Multiplica $40$ por $7$ .

$- 3 (t (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6} t^{7}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 5

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$- 3 (t^{7} t^{1} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 (t^{7 + 1} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 7

Suma $7$ y $1$ .

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \cdot 1)$

Paso 9

Multiplica ${(5 t^{8} - 1)}^{7}$ por $1$ .

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7})$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6})) - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

Paso 10.2

Multiplica $280$ por $- 3$ .

$- 840 (t^{8} ({(5 t^{8} - 1)}^{6})) - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

Paso 10.3

Factoriza $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ de $- 840 t^{8} {(5 t^{8} - 1)}^{6} - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ de $- 840 t^{8} {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ .

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8}) - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

Paso 10.3.2

Factoriza $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ de $- 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ .

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8}) + 3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- (5 t^{8} - 1))$

Paso 10.3.3

Factoriza $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ de $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8}) + 3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- (5 t^{8} - 1))$ .

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8} - (5 t^{8} - 1))$