Cálculo Ejemplos

$\int e^{2 θ} \sin (3 θ) d θ$

Paso 1

Reordena $e^{2 θ}$ y $\sin (3 θ)$ .

$\int \sin (3 θ) e^{2 θ} d θ$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (3 θ)$ y $d v = e^{2 θ}$ .

$\sin (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (3 \cos (3 θ)) d θ$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2} \cdot 3$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $\frac{1}{2} \cdot 3$ fuera de la integral.

$\sin (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 θ}$ .

$\sin (3 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

Paso 4.2

Combina $\sin (3 θ)$ y $\frac{e^{2 θ}}{2}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

Paso 4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

Paso 4.4

Reordena $e^{2 θ}$ y $\cos (3 θ)$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} \int \cos (3 θ) e^{2 θ} d θ)$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (3 θ)$ y $d v = e^{2 θ}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\cos (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (- 3 \sin (3 θ)) d θ))$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2} \cdot - 3$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $\frac{1}{2} \cdot - 3$ fuera de la integral.

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\cos (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot - 3 \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 θ}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\cos (3 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 3 \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

Paso 7.2

Combina $\cos (3 θ)$ y $\frac{e^{2 θ}}{2}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 3 \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

Paso 7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 3$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

Paso 7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3}{2} (- (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ))$

Paso 7.5

Multiplica $\frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} (- (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ))$

Paso 7.6

Multiplica.

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Paso 7.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} - \frac{3}{2} (- (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ))$

Paso 7.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + 1 (\frac{3}{2}) (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)$

Paso 7.6.3

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{3}{2} (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)$

Paso 7.7

Multiplica $\frac{- 3}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ$

Paso 7.8

Multiplica.

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Paso 7.8.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{- 9}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ$

Paso 7.8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{- 9}{4} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ$

Paso 8

Al resolver $\int e^{2 θ} \sin (3 θ) d θ$ , obtenemos que $\int e^{2 θ} \sin (3 θ) d θ$ = $\frac{\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4}}{\frac{13}{4}}$ .

$\frac{\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4}}{\frac{13}{4}} + C$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 θ) e^{2 θ}$ .

$\frac{\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3 \cdot (\cos (3 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{13}{4}} + C$

Paso 9.1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{13}{4}$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3 \cos (3 θ) e^{2 θ}}{4}) \frac{4}{13} + C$

Paso 9.2

Reescribe $(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3 \cos (3 θ) e^{2 θ}}{4}) \frac{4}{13} + C$ como $(\frac{1}{2} \sin (3 θ) e^{2 θ} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$ .

$(\frac{1}{2} \sin (3 θ) e^{2 θ} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (3 θ)$ .

$(\frac{\sin (3 θ)}{2} e^{2 θ} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

Paso 9.3.2

Combina $\frac{\sin (3 θ)}{2}$ y $e^{2 θ}$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

Paso 9.3.3

Combina $\cos (3 θ)$ y $\frac{3}{4}$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) \cdot 3}{4} e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

Paso 9.3.4

Combina $e^{2 θ}$ y $\frac{\cos (3 θ) \cdot 3}{4}$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{e^{2 θ} (\cos (3 θ) \cdot 3)}{4}) \frac{4}{13} + C$

Paso 9.3.5

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 θ)$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{e^{2 θ} (3 \cos (3 θ))}{4}) \frac{4}{13} + C$

Paso 9.4

Simplifica.

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Paso 9.4.1

Reordena los factores en $\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2}$ .

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} (3 \cos (3 θ))}{4}) \frac{4}{13} + C$

Paso 9.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.2.1

Reescribe.

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} (\cos (3 θ) \cdot 3)}{4}) \frac{4}{13} + C$

Paso 9.4.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 θ)$ .

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} (3 \cdot \cos (3 θ))}{4}) \frac{4}{13} + C$

Paso 9.4.2.3

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} \cdot 3 \cos (3 θ)}{4}) \frac{4}{13} + C$

Paso 9.4.3

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{2 θ}$ .

$(\frac{1}{2} e^{2 θ} \sin (3 θ) - \frac{3}{4} e^{2 θ} \cos (3 θ)) \frac{4}{13} + C$