Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(\frac{1}{2} x)}^{5}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = \frac{1}{2} x$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{2} x$ .

$5 {(\frac{1}{2} x)}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$5 {(\frac{x}{2})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$5 {(\frac{x}{2})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 2.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{x}{2})}^{4} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $5$ .

$\frac{5}{2} {(\frac{x}{2})}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5}{2} {(\frac{x}{2})}^{4} \cdot 1$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$\frac{5}{2} {(\frac{x}{2})}^{4}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{2}$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{4}}{2^{4}}$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{4}}{16}$

Paso 3.2.2

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{x^{4}}{16}$ .

$\frac{5 x^{4}}{2 \cdot 16}$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $16$ .

$\frac{5 x^{4}}{32}$