Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt[5]{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x}$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}$

Paso 1.6.2

Resta $5$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}$

Paso 1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.8.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ como ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1})$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5} \cdot - 1})$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{4}{5} \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Combina $\frac{4}{5}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4 \cdot - 1}{5}})$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 4}{5}})$

Paso 2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{4}{5}})$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1})$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 5}{5}})$

Paso 2.7.2

Resta $5$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 9}{5}})$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{9}{5}})$

Paso 2.9

Combina $x^{- \frac{9}{5}}$ y $\frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5})$

Paso 2.10

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5 \cdot 5}$

Paso 2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{25}$

Paso 2.11.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{- \frac{9}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot x^{- \frac{9}{5}}}{25}$

Paso 2.11.3

Mueve $x^{- \frac{9}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $- \frac{4}{25}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{25} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}$

Paso 3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}$ como ${(x^{\frac{9}{5}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{9}{5}})}^{- 1}$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{9}{5}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{9}{5} \cdot - 1}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{9}{5} \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Combina $\frac{9}{5}$ y $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{9 \cdot - 1}{5}}$

Paso 3.2.2.2.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 9}{5}}$

Paso 3.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{9}{5}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{9}{5}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{9}{5} - 1})$

Paso 3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Paso 3.5

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{\frac{- 9 - 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{\frac{- 9 - 5}{5}})$

Paso 3.7.2

Resta $5$ de $- 9$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{\frac{- 14}{5}})$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{14}{5}})$

Paso 3.9

Combina $x^{- \frac{14}{5}}$ y $\frac{9}{5}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5})$

Paso 3.10

Multiplica.

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Paso 3.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{4}{25}) \cdot \frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5}$

Paso 3.10.2

Multiplica $\frac{4}{25}$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{4}{25} \cdot \frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5}$

Paso 3.11

Multiplica $\frac{4}{25}$ por $\frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5}$ .

$f''' (x) = \frac{4 (x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9)}{25 \cdot 5}$

Paso 3.12

Multiplica.

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Paso 3.12.1

Multiplica $9$ por $4$ .

$f''' (x) = \frac{36 x^{- \frac{14}{5}}}{25 \cdot 5}$

Paso 3.12.2

Multiplica $25$ por $5$ .

$f''' (x) = \frac{36 x^{- \frac{14}{5}}}{125}$

Paso 3.12.3

Mueve $x^{- \frac{14}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{36}{125 x^{\frac{14}{5}}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $\frac{36}{125}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{36}{125 x^{\frac{14}{5}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{36}{125} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{14}{5}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{14}{5}}})$

Paso 4.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{14}{5}}}$ como ${(x^{\frac{14}{5}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{14}{5}})}^{- 1})$

Paso 4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{14}{5}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{14}{5} \cdot - 1})$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $\frac{14}{5} \cdot - 1$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Combina $\frac{14}{5}$ y $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{14 \cdot - 1}{5}})$

Paso 4.2.2.2.2

Multiplica $14$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 14}{5}})$

Paso 4.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{14}{5}})$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{14}{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{14}{5} - 1})$

Paso 4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{14}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Paso 4.5

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{14}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{\frac{- 14 - 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{\frac{- 14 - 5}{5}})$

Paso 4.7.2

Resta $5$ de $- 14$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{\frac{- 19}{5}})$

Paso 4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{19}{5}})$

Paso 4.9

Combina $x^{- \frac{19}{5}}$ y $\frac{14}{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{x^{- \frac{19}{5}} \cdot 14}{5})$

Paso 4.10

Multiplica $\frac{36}{125}$ por $\frac{x^{- \frac{19}{5}} \cdot 14}{5}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{36 (x^{- \frac{19}{5}} \cdot 14)}{125 \cdot 5}$

Paso 4.11

Multiplica.

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Paso 4.11.1

Multiplica $14$ por $36$ .

$f^{4} (x) = - \frac{504 x^{- \frac{19}{5}}}{125 \cdot 5}$

Paso 4.11.2

Multiplica $125$ por $5$ .

$f^{4} (x) = - \frac{504 x^{- \frac{19}{5}}}{625}$

Paso 4.11.3

Mueve $x^{- \frac{19}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{504}{625 x^{\frac{19}{5}}}$