Cálculo Ejemplos

$f (x) = (1 + 9 x^{2}) (x - x^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 1 + 9 x^{2}$ y $g (x) = x - x^{2}$ .

$(1 + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x - x^{2}] + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(1 + 9 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

Paso 2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - (2 x)) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

Paso 2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

Paso 2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

Paso 2.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

Paso 2.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Paso 2.9

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.10

Mueve $9$ a la izquierda de $x - x^{2}$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + 9 \cdot (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + 9 (x - x^{2}) (2 x)$

Paso 2.12

Multiplica $2$ por $9$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + 18 (x - x^{2}) x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1