Cálculo Ejemplos

$f (x) = (4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 4 x^{2} - 8 x + 8$ y $g (x) = e^{x}$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 8 x + 8]$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 8 x + 8]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - 8 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 3.5

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 3.7

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 3.8

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 + 0)$

Paso 3.9

Suma $8 x - 8$ y $0$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x - 8)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x) + e^{x} \cdot - 8$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Mueve $- 8$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x) - 8 \cdot e^{x}$

Paso 4.3.2

Suma $- 8 x e^{x}$ y $e^{x} (8 x)$ .

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Paso 4.3.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} - 8 x e^{x} + 8 x e^{x} - 8 e^{x}$

Paso 4.3.2.2

Suma $- 8 x e^{x}$ y $8 x e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} + 0 - 8 e^{x}$

Paso 4.3.3

Suma $4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x}$ y $0$ .

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} - 8 e^{x}$

Paso 4.3.4

Resta $8 e^{x}$ de $8 e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 0$

Paso 4.3.5

Suma $4 x^{2} e^{x}$ y $0$ .

$4 x^{2} e^{x}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $4 x^{2} e^{x}$ .

$4 e^{x} x^{2}$

Paso 4.5

Reordena los factores en $4 e^{x} x^{2}$ .

$4 x^{2} e^{x}$