Cálculo Ejemplos

$f (x) = (3 x - 2) (4 x^{2} + 3)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 3 x - 2$ y $g (x) = 4 x^{2} + 3$ .

$(3 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3] + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(3 x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$(3 x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Paso 2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(3 x - 2) (8 x + 0) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $8 x$ y $0$ .

$(3 x - 2) (8 x) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Paso 2.6.2

Mueve $8$ a la izquierda de $3 x - 2$ .

$8 \cdot (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 2.8

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 2.10

Multiplica $3$ por $1$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 2.11

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 + 0)$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.12.1

Suma $3$ y $0$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) \cdot 3$

Paso 2.12.2

Mueve $3$ a la izquierda de $4 x^{2} + 3$ .

$8 (3 x - 2) x + 3 \cdot (4 x^{2} + 3)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(8 (3 x) + 8 \cdot - 2) x + 3 (4 x^{2} + 3)$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (3 x) x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2} + 3)$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (3 x) x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Paso 3.4

Combina los términos.

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Paso 3.4.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$24 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Paso 3.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$24 (x^{1} x) + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Paso 3.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$24 (x^{1} x^{1}) + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Paso 3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$24 x^{1 + 1} + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Paso 3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$24 x^{2} + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Paso 3.4.6

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$24 x^{2} - 16 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Paso 3.4.7

Multiplica $4$ por $3$ .

$24 x^{2} - 16 x + 12 x^{2} + 3 \cdot 3$

Paso 3.4.8

Multiplica $3$ por $3$ .

$24 x^{2} - 16 x + 12 x^{2} + 9$

Paso 3.4.9

Suma $24 x^{2}$ y $12 x^{2}$ .

$36 x^{2} - 16 x + 9$