Cálculo Ejemplos

$f (x) = (4 x^{2} - 3 x + 3) \cdot (4 x^{2} + 6 x - 11)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 3$ y $g (x) = 4 x^{2} + 6 x - 11$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 x - 11] + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 6 x - 11$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Paso 2.5

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Paso 2.7

Multiplica $6$ por $1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Paso 2.8

Como $- 11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 11$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 + 0) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Paso 2.9

Suma $8 x + 6$ y $0$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Paso 2.10

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - 3 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.11

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.13

Multiplica $2$ por $4$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.14

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.16

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.17

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 + 0)$

Paso 2.18

Suma $8 x - 3$ y $0$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Factoriza $1$ de $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $1$ de $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)$ .

$1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.1.2

Factoriza $1$ de $(4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ .

$1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)) + 1 ((4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3))$

Paso 3.1.3

Factoriza $1$ de $1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)) + 1 ((4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3))$ .

$1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3))$

Paso 3.2

Multiplica $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ por $1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Expande $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.2.1

Mueve $x$ .

$4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.2.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $4$ por $8$ .

$32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $6$ por $4$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 \cdot 8 x \cdot x - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.2.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.6.1

Mueve $x$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 \cdot 8 (x \cdot x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.2.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 \cdot 8 x^{2} - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.2.7

Multiplica $- 3$ por $8$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.2.8

Multiplica $6$ por $- 3$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.2.9

Multiplica $8$ por $3$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 24 x + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.2.10

Multiplica $3$ por $6$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 24 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.3

Combina los términos opuestos en $32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 24 x + 18$ .

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Paso 3.3.3.1

Resta $24 x^{2}$ de $24 x^{2}$ .

$32 x^{3} + 0 - 18 x + 24 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.3.2

Suma $32 x^{3}$ y $0$ .

$32 x^{3} - 18 x + 24 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.4

Suma $- 18 x$ y $24 x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Paso 3.3.5

Expande $(4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Paso 3.3.6

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.6.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.6.2.1

Mueve $x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Paso 3.3.6.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.3.6.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Paso 3.3.6.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Paso 3.3.6.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Paso 3.3.6.3

Multiplica $4$ por $8$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Paso 3.3.6.4

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Paso 3.3.6.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 8 x \cdot x + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Paso 3.3.6.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.6.6.1

Mueve $x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 8 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Paso 3.3.6.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 8 x^{2} + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Paso 3.3.6.7

Multiplica $6$ por $8$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Paso 3.3.6.8

Multiplica $- 3$ por $6$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} - 18 x - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Paso 3.3.6.9

Multiplica $8$ por $- 11$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} - 18 x - 88 x - 11 \cdot - 3$

Paso 3.3.6.10

Multiplica $- 11$ por $- 3$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} - 18 x - 88 x + 33$

Paso 3.3.7

Suma $- 12 x^{2}$ y $48 x^{2}$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} + 36 x^{2} - 18 x - 88 x + 33$

Paso 3.3.8

Resta $88 x$ de $- 18 x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} + 36 x^{2} - 106 x + 33$

Paso 3.4

Suma $32 x^{3}$ y $32 x^{3}$ .

$64 x^{3} + 6 x + 18 + 36 x^{2} - 106 x + 33$

Paso 3.5

Resta $106 x$ de $6 x$ .

$64 x^{3} - 100 x + 18 + 36 x^{2} + 33$

Paso 3.6

Suma $18$ y $33$ .

$64 x^{3} - 100 x + 36 x^{2} + 51$