Cálculo Ejemplos

$f (x) = (4 x - 2) e^{2 x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 4 x - 2$ y $g (x) = e^{2 x}$ .

$(4 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$(4 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(4 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$(4 x - 2) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x - 2) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(4 x - 2) e^{2 x} (2 \cdot 1) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$(4 x - 2) e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Paso 3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $(4 x - 2) e^{2 x}$ .

$2 \cdot ((4 x - 2) e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 3.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 3.7

Multiplica $4$ por $1$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 3.8

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 + 0)$

Paso 3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 3.9.1

Suma $4$ y $0$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} \cdot 4$

Paso 3.9.2

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + 4 \cdot e^{2 x}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 (4 x) + 2 \cdot - 2) e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (4 x) e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 x e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$8 x e^{2 x} - 4 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Paso 4.3.3

Suma $- 4 e^{2 x}$ y $4 e^{2 x}$ .

$8 x e^{2 x} + 0$

Paso 4.3.4

Suma $8 x e^{2 x}$ y $0$ .

$8 x e^{2 x}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $8 x e^{2 x}$ .

$8 e^{2 x} x$

Paso 4.5

Reordena los factores en $8 e^{2 x} x$ .

$8 x e^{2 x}$