Cálculo Ejemplos

$f (x) = (6 \sqrt{x} - 2) (5 \sqrt{x} + 7)$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 \sqrt{x} + 7)]$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 x^{\frac{1}{2}} + 7)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} - 2$ y $g (x) = 5 x^{\frac{1}{2}} + 7$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}} + 7] + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{\frac{1}{2}} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Paso 3.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Paso 8.3

Combina $5$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{5 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Paso 8.4

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Paso 9

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Paso 10

Suma $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Paso 11

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{\frac{1}{2}} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 12

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 14

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 15

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 17

Simplifica el numerador.

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Paso 17.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 17.2

Resta $2$ de $1$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 19

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 20

Combina $6$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 21

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 22

Factoriza $2$ de $6$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 23

Cancela los factores comunes.

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Paso 23.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 23.2

Cancela el factor común.

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 23.3

Reescribe la expresión.

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 24

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Paso 25

Suma $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26

Simplifica.

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Paso 26.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{\frac{1}{2}} \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{\frac{1}{2}} \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3

Combina los términos.

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Paso 26.3.1

Combina $6$ y $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{6 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.2

Multiplica $6$ por $5$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{30}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.3

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{30}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 30}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.4

Mueve $30$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{30 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.5

Factoriza $2$ de $30 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 26.3.6.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.7

Cancela el factor común.

$\frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.8

Divide $15$ por $1$ .

$15 - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.9

Combina $- 2$ y $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$15 + \frac{- 2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.10

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$15 + \frac{- 10}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.11

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$15 + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 26.3.12.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$15 + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.12.2

Cancela el factor común.

$15 + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.12.3

Reescribe la expresión.

$15 + \frac{- 5}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.14

Combina $5$ y $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{5 \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.15

Multiplica $5$ por $3$ .

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{15}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.16

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{15}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 15}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.17

Mueve $15$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.18

Cancela el factor común.

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.19

Divide $15$ por $1$ .

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + 15 + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.20

Combina $7$ y $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + 15 + \frac{7 \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.21

Multiplica $7$ por $3$ .

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + 15 + \frac{21}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.22

Suma $15$ y $15$ .

$30 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{21}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$30 + \frac{- 5 + 21}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.3.24

Suma $- 5$ y $21$ .

$30 + \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$