Cálculo Ejemplos

$f (x) = \csc^{4} (2 x^{2} + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \csc (2 x^{2} + 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\csc (2 x^{2} + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x^{2} + 1)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (2 x^{2} + 1)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\csc (2 x^{2} + 1)$ .

$4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\csc (2 x^{2} + 1)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = 2 x^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x^{2} + 1$ .

$4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Paso 2.2

La derivada de $\csc (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x^{2} + 1$ .

$4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) (- \csc (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Paso 3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) (\csc (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Paso 4

Eleva $\csc (2 x^{2} + 1)$ a la potencia de $1$ .

$- 4 (\csc^{1} (2 x^{2} + 1) \csc^{3} (2 x^{2} + 1)) (\cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 4 {\csc (2 x^{2} + 1)}^{1 + 3} (\cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Paso 6

Suma $1$ y $3$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) (\cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 10

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (4 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (4 x + 0)$

Paso 12

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Suma $4 x$ y $0$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (4 x)$

Paso 12.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$- 16 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) x$

Paso 12.3

Reordena los factores de $- 16 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) x$ .

$- 16 x \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1)$