Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 - x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Paso 3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Paso 5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Paso 6.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Paso 6.3

Mueve ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 8

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- (2 x))$

Paso 12

Combina fracciones.

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Paso 12.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- 2 x)$

Paso 12.2

Combina $- 2$ y $\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} x$

Paso 12.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 4}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} x$

Paso 12.4

Combina $\frac{- 4}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ y $x$ .

$\frac{- 4 x}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 12.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 x}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$