Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 3}^{10} 9 - 2 k$

Paso 1

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $k$ sea igual a $1$ .

$\sum_{k = 3}^{10} 9 - 2 k = \sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 k - \sum_{k = 1}^{2} 9 - 2 k$

Paso 2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 k$ .

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Paso 2.1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 k = \sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 \sum_{k = 1}^{10} k$

Paso 2.2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{10} 9$ .

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Paso 2.2.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 2.2.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(9) (10)$

Paso 2.2.3

Multiplica $9$ por $10$ .

$90$

Paso 2.3

Evalúa $2 \sum_{k = 1}^{10} k$ .

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Paso 2.3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 2.3.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 2) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.3.1.1

Suma $10$ y $1$ .

$- 2 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Paso 2.3.3.1.2

Multiplica $10$ por $11$ .

$- 2 (\frac{110}{2})$

Paso 2.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{110}{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{110}{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 110$

Paso 2.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $110$ .

$- 110$

Paso 2.4

Suma los resultados de las sumas.

$90 - 110$

Paso 2.5

Resta $110$ de $90$ .

$- 20$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{2} 9 - 2 k$ .

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Paso 3.1

Expande la serie para cada valor de $k$ .

$9 - 2 \cdot 1 + 9 - 2 \cdot 2$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$9 - 2 + 9 - 2 \cdot 2$

Paso 3.2.2

Resta $2$ de $9$ .

$7 + 9 - 2 \cdot 2$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$7 + 9 - 4$

Paso 3.2.4

Resta $4$ de $9$ .

$7 + 5$

Paso 3.2.5

Suma $7$ y $5$ .

$12$

Paso 4

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$- 20 - 12$

Paso 5

Resta $12$ de $- 20$ .

$- 32$