Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 1 - x$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 5.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 6.3

Mueve ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1)$

Paso 12

Combina fracciones.

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Paso 12.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1$

Paso 12.2

Combina $\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ y $- 1$ .

$\frac{- 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 12.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$