Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{10}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(x + 5)}^{7}$ y $g (x) = {(4 x - 1)}^{10}$ .

${(x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{10}] + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{10}$ y $g (x) = 4 x - 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x - 1$ .

${(x + 5)}^{7} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 10$ .

${(x + 5)}^{7} (10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x - 1$ .

${(x + 5)}^{7} (10 {(4 x - 1)}^{9} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Mueve $10$ a la izquierda de ${(x + 5)}^{7}$ .

$10 \cdot {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Paso 3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Paso 3.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Paso 3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (4 + 0) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.1

Suma $4$ y $0$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} \cdot 4 + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Paso 3.7.2

Multiplica $4$ por $10$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = x + 5$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + 5$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + {(4 x - 1)}^{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + {(4 x - 1)}^{10} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 5$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + {(4 x - 1)}^{10} (7 {(x + 5)}^{6} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Mueve $7$ a la izquierda de ${(4 x - 1)}^{10}$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 \cdot {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} (1 + 0)$

Paso 5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} \cdot 1$

Paso 5.5.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Factoriza ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9}$ de $40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6}$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9}$ de $40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9}$ .

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5)) + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6}$

Paso 6.1.2

Factoriza ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9}$ de $7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6}$ .

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5)) + {(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (7 (4 x - 1))$

Paso 6.1.3

Factoriza ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9}$ de ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5)) + {(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (7 (4 x - 1))$ .

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5) + 7 (4 x - 1))$

Paso 6.2

Reordena los factores de ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5) + 7 (4 x - 1))$ .

${(4 x - 1)}^{9} {(x + 5)}^{6} (40 (x + 5) + 7 (4 x - 1))$