Cálculo Ejemplos

$x^{3} < 9 x$

Paso 1

Resta $9 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{3} - 9 x < 0$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} - 9 x = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 9 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 9 x = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $- 9 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 9 = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$x (x^{2} - 9) = 0$

Paso 3.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Paso 3.3

Factoriza.

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Paso 3.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Paso 3.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 6.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 7

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 7.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 3, 3$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

${(- 6)}^{3} < 9 (- 6)$

Paso 10.1.3

$- 216$ del lado izquierdo es menor que $- 54$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

${(- 2)}^{3} < 9 (- 2)$

Paso 10.2.3

$- 8$ del lado izquierdo no es menor que $- 18$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

${(2)}^{3} < 9 (2)$

Paso 10.3.3

$8$ del lado izquierdo es menor que $18$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 10.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

${(6)}^{3} < 9 (6)$

Paso 10.4.3

$216$ del lado izquierdo no es menor que $54$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 3$ o $0 < x < 3$

Paso 12

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 3) \cup (0, 3)$

Paso 13