Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{\log_{9} (x)}{x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \log_{9} (x)$ y $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3

La derivada de $\log_{9} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x \ln (9)}$ .

$\frac{x^{3} \frac{1}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{x \ln (9)}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Factoriza $x$ de $x \ln (9)$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x (\ln (9))} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 5

Multiplica $\frac{\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$ por $\frac{\ln (9)}{\ln (9)}$ .

$\frac{\ln (9)}{\ln (9)} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 6

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Combinar.

$\frac{\ln (9) (\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (9) \frac{x^{2}}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $\ln (9)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (9) \frac{x^{2}}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

Paso 6.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x) (3 x^{2}))}{\ln (9) x^{6}}$

Paso 8

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- 3 \log_{9} (x) x^{2})}{\ln (9) x^{6}}$

Paso 9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Simplifica $- 3 \log_{9} (x)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x^{3}) x^{2})}{\ln (9) x^{6}}$

Paso 9.1.2

Reordena los factores en $x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x^{3}) x^{2})$ .

$\frac{x^{2} - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})}{\ln (9) x^{6}}$

Paso 9.2

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})}{x^{6} \ln (9)}$

Paso 9.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})}{x^{6} \ln (9)}$

Paso 9.3.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \ln (9) \log_{9} (x^{3}))}{x^{6} \ln (9)}$

Paso 9.3.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \ln (9) \log_{9} (x^{3}))$ .

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) \log_{9} (x^{3}))}{x^{6} \ln (9)}$

Paso 9.4

Expande $\log_{9} (x^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x)))}{x^{6} \ln (9)}$

Paso 9.5

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6} \ln (9)$ .

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x)))}{x^{2} (x^{4} \ln (9))}$

Paso 9.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x)))}{x^{2} (x^{4} \ln (9))}$

Paso 9.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x))}{x^{4} \ln (9)}$

Paso 9.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1 - 3 \ln (9) \log_{9} (x)}{x^{4} \ln (9)}$