Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(\sqrt[4]{x^{2} + 1})}^{3}$

Paso 1

Reescribe ${(\sqrt[4]{x^{2} + 1})}^{3}$ como $\sqrt[4]{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{{(x^{2} + 1)}^{3}}]$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{4}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 7.2

Resta $4$ de $3$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 8.2

Combina $\frac{3}{4}$ y ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 8.3

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 x + 0)$

Paso 12

Simplifica los términos.

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Paso 12.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 x)$

Paso 12.2

Combina $2$ y $\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

Paso 12.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

Paso 12.4

Combina $\frac{6}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$ y $x$ .

$\frac{6 x}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$

Paso 12.5

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$\frac{2 (3 x)}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$

Paso 13

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.1

Factoriza $2$ de $4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}})}$

Paso 13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x)}{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}})}$

Paso 13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$