Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{e^{x}}{\sin (x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\sin (x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) e^{x} - e^{x} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los factores en $\sin (x) e^{x} - e^{x} \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (\sin (x)) - e^{x} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (\sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (\sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))$ .

$\frac{e^{x} (\sin (x) - \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$