Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 7}{16 - x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 7$ y $g (x) = 16 - x^{2}$ .

$\frac{(16 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7] - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $16 - x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $16 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.6

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.7

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.9

Multiplica.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + 1 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.2

Multiplica $x^{2} + 7$ por $1$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + (x^{2} + 7) (2 x)}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 7$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + 2 \cdot (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 \cdot 16 + 2 (- x^{2})) x + 2 (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + (2 x^{2} + 2 \cdot 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $2$ por $16$ .

$\frac{32 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{32 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.5.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{32 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{32 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{32 x + 2 (- x^{3}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.5.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.5

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.2

Combina los términos opuestos en $32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 14 x$ .

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Paso 3.5.2.1

Suma $- 2 x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$\frac{32 x + 0 + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.2.2

Suma $32 x$ y $0$ .

$\frac{32 x + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.3

Suma $32 x$ y $14 x$ .

$\frac{46 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.6

Reordena los términos.

$\frac{46 x}{{(- x^{2} + 16)}^{2}}$

Paso 3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 3.7.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{46 x}{{(- x^{2} + 4^{2})}^{2}}$

Paso 3.7.2

Reordena $- x^{2}$ y $4^{2}$ .

$\frac{46 x}{{(4^{2} - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.7.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4$ y $b = x$ .

$\frac{46 x}{{((4 + x) (4 - x))}^{2}}$

Paso 3.7.4

Aplica la regla del producto a $(4 + x) (4 - x)$ .

$\frac{46 x}{{(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2}}$