Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{4 x^{2} + 4}$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{4 x^{2} + 4}$ como ${(4 x^{2} + 4)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 4)}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 4 x^{2} + 4$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{2} + 4$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + 0)$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $8 x$ y $0$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x)$

Paso 3.6.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$- 8 {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $- 8$ y $\frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Paso 4.2.3

Combina $x$ y $\frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.4

Mueve $8$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{8 x}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4)}^{2}}$

Paso 4.3.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

Paso 4.3.1.3

Factoriza $4$ de $4 (x^{2}) + 4 (1)$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Paso 4.3.2

Aplica la regla del producto a $4 (x^{2} + 1)$ .

$- \frac{8 x}{4^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{8 x}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $8$ y $16$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$- \frac{8 (x)}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.2.1

Factoriza $8$ de $16 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \frac{8 (x)}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Paso 4.4.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{8 x}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Paso 4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}$