Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{7 - 4 x}}$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7 - 4 x}$ como ${(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{1}{{(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 1.3

Multiplica los exponentes en ${({(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(7 - 4 x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [{(7 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ y $g (x) = 7 - 4 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 - 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 - 4 x$ .

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Paso 7.2

Combina ${(7 - 4 x)}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(7 - 4 x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Paso 7.3

Mueve ${(7 - 4 x)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $7 - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Paso 9

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Paso 10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 11

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 12

Simplifica los términos.

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Paso 12.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$4 \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.1

Factoriza $2$ de $2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{{(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{{(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Paso 15

Simplifica la expresión.

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Paso 15.1

Multiplica $\frac{2}{{(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{2}{{(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 15.2

Reordena los términos.

$\frac{2}{{(- 4 x + 7)}^{\frac{3}{2}}}$