Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 6 x^{3} - 36 x^{2} + 108 x - 4$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} x^{4} + 6 x^{3} - 36 x^{2} + 108 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.4

Combina $\frac{4}{2}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.5.2.4

Divide $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Paso 3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{3}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $6$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Paso 4.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $- 36$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 5

Evalúa $\frac{d}{d x} [108 x]$ .

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Paso 5.1

Como $108$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $108 x$ con respecto a $x$ es $108 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 5.3

Multiplica $108$ por $1$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108 + 0$

Paso 6.2

Suma $2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108$ y $0$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108$