Cálculo Ejemplos

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{1 + t} - \sqrt{1 - t}}{t}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{1 + t} - \sqrt{1 - t}}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{1 + t} - lim_{t \to 0} \sqrt{1 - t}}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} 1 + t} - lim_{t \to 0} \sqrt{1 - t}}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} \sqrt{1 - t}}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} \sqrt{1 - t}}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t} - \sqrt{lim_{t \to 0} 1 - t}}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t} - \sqrt{lim_{t \to 0} 1 - lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t} - \sqrt{1 - lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $t$ .

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Paso 1.1.2.8.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 - lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.8.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 + 0}}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.9.1.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{1 + 0}}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.9.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 + 0}}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.9.1.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.9.1.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.9.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.9.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{1 + t} - \sqrt{1 - t}}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{1 + t} - \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{1 + t} - \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{1 + t} - \sqrt{1 - t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\sqrt{1 + t}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{1 + t}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [\sqrt{1 + t}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + t}$ como ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [{(1 + t)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = 1 + t$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.11

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.13

Multiplica $\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.14

Mueve ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - t}$ como ${(1 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = 1 - t$ .

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Paso 1.3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 - t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 - t])}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 - t])}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 - t])}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]))}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.5

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t]))}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d t} [t]))}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.4.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.13

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.14

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.15

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.16

Combina $\frac{{(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $- 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(1 - t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.17

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1 \cdot {(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.18

Reescribe $- 1 {(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- {(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.19

Mueve ${(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{2 {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - - \frac{1}{2 {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.21

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4.22

Multiplica $\frac{1}{2 {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Convierte los exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.4.1

Reescribe ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{2 {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4.2

Reescribe ${(1 - t)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 - t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}}{1}$

Paso 1.5

Divide $\frac{1}{2 \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 + t}} + lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$

Paso 2.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + t}} + lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} \sqrt{1 + t}} + lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 0} \sqrt{1 + t}} + lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$

Paso 2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 1 + t}} + lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t}} + lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}} + lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$

Paso 2.8

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}} + \frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - t}}$

Paso 2.9

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} \sqrt{1 - t}}$

Paso 2.10

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 0} \sqrt{1 - t}}$

Paso 2.11

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 1 - t}}$

Paso 2.12

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 1 - lim_{t \to 0} t}}$

Paso 2.13

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{t \to 0} t}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $t$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{t \to 0} t}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Paso 4.1.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Paso 4.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Paso 4.1.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Paso 4.1.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Paso 4.1.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 4.1.5

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 4.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 4.1.6

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 1}{2}$

Paso 4.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{2}$

Paso 4.4

Divide $2$ por $2$ .

$1$